Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B的坐标是（6，0）．

（1）如图1，点C的坐标是（﹣2，0），BD⊥AC于D交y轴于点E．求点E的坐标；

（2）在（1）的条件下求证：OD平分∠CDB；

（3）如图2，点F为AB中点，点G为x正半轴点B右侧一动点，过点F作FG的垂线FH，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，S_△AFH﹣S_△FBG的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．

Answer

（1）点E的坐标为（0，2）；（2）详见解析；（3）S△AFH﹣S△FEG＝9不发生变化，理由详见解析.

【解析】

（1）易得OA=OB,由∠ACO+∠CAO＝90°，∠BCD+∠CBE＝90°，可得∠CAO＝∠CBE，可证得△AOC≌△BOE，可得OE＝OC，可得E点左边；

（2）过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，由△AOC≌△BOE，可得S△AOC＝S△BOE，由AC＝BE，可得OM＝ON，所以点O一定在∠CDB的角平分线上，即OD平分∠CDB；

（3））S△AFH﹣S△FEG＝9不发生变化，理由如下：连接OF，可证得△FOH≌△FBG，可得

S△AOC＝S△BOE，可得S△AFH﹣S△FBG＝S△AFH﹣S△FOH＝S△FOA＝=9.

【解析】
（1）∵x轴⊥y轴

∴∠AOC＝∠BOE＝90°

∴∠ACO+∠CAO＝90°

∵BD⊥AC

∴∠BCD+∠CBE＝90°

∴∠CAO＝∠CBE，

∵点A，B的坐标分别为（0，6），（6，0）

∴OA＝OB＝6，

在△AOC和△BOE中

∴△AOC≌△BOE（ASA）

∴OE＝OC，

∵点C的坐标为（﹣2，0）

∴OC＝OE＝2

∴点E的坐标为（0，2）

（2）过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N

∵△AOC≌△BOE

∴S△AOC＝S△BOE，AC＝BE，

∴AC•ON＝BC•OM

∴OM＝ON，

∴点O一定在∠CDB的角平分线上

即OD平分∠CDB；

（3）S△AFH﹣S△FEG＝9不发生变化，理由如下：

连接OF

∵△AOB是等腰直角三角形且点F为AB的中点

∴OF⊥AB，OF＝FB，OF平分∠AOB

∴∠OFB＝∠OFH+∠HFB＝90°

又∵FG⊥FH

∴∠HFG＝∠BFG+∠HFB＝90°

∴∠OFH＝∠BFG

∵∠FOB＝

∴∠FOH＝∠FOB+∠HOB＝45°+90°＝135°

又∵∠FBG＝180°﹣∠ABO＝180°﹣45°＝135°

∴∠FOH＝∠FBG

在△FOH和△FBG中

∴△FOH≌△FBG（ASA）

∴S△AOC＝S△BOE

∴S△AFH﹣S△FBG

＝S△AFH﹣S△FOH

＝S△FOA＝．