Question

如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的圆与斜边AB相切于点D，P是弧CD上任意一点，过点P作⊙O的切线，交BC于点M，交AB于点N，已知AB＝5，AC＝4．

（1）△BMN的周长等于多少；

（2）⊙O的半径．

Answer

（1）△BMN的周长为6，（2）⊙O的半径为1.5．

【解析】

（1）由勾股定理可求得是BC，再证得BC为圆的切线，则可求得BC和BD的长，由切线长定理可求得PM=CM、PN=ND，则可求得答案；
（2）连接OD，设半径为r，则AO=4-r，AD=2，在Rt△AOD中，由勾股定理可列方程，可求得r．

（1）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，

∴BC＝3，

∵AC⊥BC，

∴BC为⊙O的切线，

∵AB为⊙O的切线，

∴BD＝BC＝3，

∵MN为⊙O的切线，

∴PM＝CM，PN＝DN，

∴BM+BN+MN＝BM+PM+BN+PN＝BM+MC+BN+ND＝BC+BD＝3+3＝6，

即△BMN的周长为6，

故答案为：6；

（2）如图，连接OD，

∵AB为⊙O的切线，

∴OD⊥AB，

设半径为r，则AO＝AC﹣r＝4﹣r，AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，

在Rt△AOD中，由勾股定理可得r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝1.5，

∴⊙O的半径为1.5．