Question

如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：

（1）当CP⊥OA时，求t的值；

（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；

（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．

Answer

（1）t＝3；（2）P（t+2，t﹣4）；（3）t的值为秒或4秒或16秒或秒

【解析】

（1）如图1，过点C作CP⊥OA，交x轴于点P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，进而求出结论；
（2）t＜10时，P在OA或AB上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P在OA上，OP=t，可得P的坐标；②当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P的坐标；
（3）设切点为G，连接PG，分⊙P与四边相切，其中P在AB和BC时，与各边都不相切，所以分两种情况：
①当P在OA上时，根据三角函数列式可得t的值；
②当P在OC上时，同理可得结论．

（1）如图1，

当CP⊥OA时，sin∠AO

在Rt△OPC中，OC＝5，PC＝4，则OP＝3，

∴

（2）当0≤t≤5时，如图1，点P在OA上，

∴P（t，0）；

当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，

过P作PH⊥x轴，垂足为H，

则∠AOC＝∠PAH，

∴sin∠PAH＝sin∠AO

∴

∴

（3）设切点为G，连接PG，

分两种情况：

①当P在OA上时，如图3，

⊙P与直线AB相切，

∵OC∥AB，

∴∠AOC＝∠OAG，

∴sin∠AOC＝sin∠OA

∴

⊙P与BC相切时，如图4，

则PG＝t＝OP＝4；

②当点P在OC上时，

⊙P与AB相切时，如图5，

∴OP＝PG＝4，

∴4×5﹣t＝4，

t＝16，

⊙P与直线BC相切时，如图6，

∴PG⊥BC，

∵BC∥AO，

∴∠AOC＝∠GCP，

∴sin∠AOC＝sin∠GC

∵OP＝PG＝20﹣t，

∴

∴

综上所述，t的值