Question

我们把经过原点，顶点落在同一抛物线C上的所有抛物线称为抛物线C的派生抛物线．

（1）若y₁＝﹣x²+4x是抛物线C：y＝ax²+2的派生抛物线，求a的值．

（2）证明：经过原点的抛物线y＝﹣mx²+2mx+m﹣2是抛物线C：y＝x²+的派生抛物线；

（3）如图，抛物线y₁，y₂，y₃，y₄…y_n都是抛物线C：y＝x²﹣2x+2的派生抛物线，其顶点A₁，A₂，A₃，A₄…A_n的横坐标分别是1、2、3、4…n，它们与x轴的另一个交点分别是B₁，B₂，B₃，B₄…B_n，与原点O构成的三角形分别为△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，△OA₄B₄…△OA_nB_n．

①请用含n的代数式表示抛物线y_n的函数表达式；

②在这些三角形中，是否存在两个相似的三角形，若存在，请直接写出它们所对应的两个函数的表达式，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）a＝；（2）见解析；（3）①yn＝﹣（x﹣n）2+n2﹣2n+2，②存在．y1＝﹣（x﹣1）2+1，y2＝﹣（x﹣2）2+2，理由见解析.

【解析】

（1）根据派生抛物线的定义构建方程求出a即可；
（2）根据派生抛物线的定义证明即可；
（3）①设yn=a（x-n）2+n2-2n+2，因为经过原点，可得0=a（0-n）2+n2-2n+2，推出a=
②存在．y1=-（x-1）2+1，y2=-（x-2）2+2，理由：△OA1B1，△OA2B2都是等腰直角三角形；

（1）y1＝﹣x2+4x的顶点坐标（2，4），

∵y1＝﹣x2+4x是抛物线C：y＝ax2+2的派生抛物线，

∴4＝4a+2，

∴

（2）∵抛物线经过原点（0，0），

∴m﹣2＝0，

∴m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x，顶点（1，2），

当x＝1时，

∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x，顶点（1，2）在抛物线C：

∴经过原点的抛物线y＝﹣mx2+2mx+m﹣2是抛物线C：

（3）①设yn＝a（x﹣n）2+n2﹣2n+2，

∵经过原点，

∴0＝a（0﹣n）2+n2﹣2n+2，

∴a＝

∴yn＝﹣

②存在．y1＝﹣（x﹣1）2+1，y2＝﹣（x﹣2）2+2，

理由：△OA1B1，△OA2B2都是等腰直角三角形．

∴△OA1B1∽△OA2B2.