Question

如图，在平面直角坐标系中，两个函数y＝x，y＝﹣x+6的图象交于点A．动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S．

(1)求点A的坐标．

(2)试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式．

(3)在(2)的条件下，S是否有最大值若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由．

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是　   　．

Answer

(1)A（4，4）；(2)见解析；(3)有最大值，当t=2时，S的最大值为12；(4)t≥12．

【解析】

（1）因为两个函数y=x，y=-x+6的图象交于点A，所以将两个函数的解析式联立，得到方程组，解之即可；

（2）因为点P在直线OA即y=x上以每秒1个单位的速度运动，所以OP=t，而OA是第一、三象限坐标轴夹角的平分线，所以点P坐标为(t，t)，又因PQ∥x轴交直线BC于点Q，所以可得点Q的纵坐标为t，并且点Q在y=-x+6上，因此可得到关于x、t的关系式，经过变形可用t表示x，即得到点Q坐标为(12−t，t)，PQ＝12−t，当重叠部分是正方形时，分情况代入面积公式中求解；

（3）结合（2）中的关系式可知有最大值，并且最大值应在0＜t≤3中，利用二次函数最值的求法就可得到S的最大值为12；

（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时，此时重合部分就是△AOB，B的坐标为（12，0），并且有PB⊥OB，PB=OB=12，所以OP=12，即t≥12．

(1)由可得，

∴A（4，4）；

(2)点P在y＝x上，OP＝t，

则点P坐标为，

点Q的纵坐标为，并且点Q在y＝﹣x+6上，

∴ ，

即点Q坐标为，，

当时，，

当时， ，

当点P到达A点时，t=2，

当3﹤t﹤4时，S=，

＝；

(3)有最大值，最大值应在中，

，

当t=2时，S的最大值为12；

(4)当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时，此时重合部分就是△AOB，

∵B的坐标为（12，0），PB⊥OB，

∴PB＝OB＝12，

∴OP＝12，

∴t≥12．