Question

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点 D 是边 BC 的中点．以BD为直径作⊙O，交边 AB于点P，连接PC，交AD于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）当∠BAC=90°时，求证：CE=2PE；

（3）如图2，当PC是⊙O的切线，E为AD 中点，BC=8，求AD的长．

Answer

（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2.

【解析】

（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；

（2）连接PD、PO，根据直径上的圆周角是直角可得PD∥AC，所以得△PBD是等腰三角形，则OD=BD，又由已知得OD=BD=DC，由平行线分线段成比例得=；

（3）连接OP，根据三角函数可求得PC，CD的长，再在Rt△ADE中利用三角函数求得DE的长，进而得出AD的长．

(1)证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，

∴AD⊥BD.

又∵BD是圆O直径，

∴AD是圆O的切线.

(2)证明：连接PD、PO，

∴PD∥AC，

已知△ABC中，AB=AC，∴BD=DC，

∴PB=PD，

∴OD=OB=BD=DC，

∴PE=CE，

∴=，

即CE=2PE；

(3)连接OP，

由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2，

∵PC是圆O的切线，O为圆心，

∴∠OPC=90°∴由勾股定理,得PC=4，

在△OPC中,tan∠OCP= =，

在△DEC中,tan∠DCE= =,DE=DC⋅=.

∵E为AD中点，

∴AD=2.