Question

如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图甲，将△ADE绕点A 旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是_____．

①BD=CE②BD⊥CE③∠ACE+∠DBC=45°④BE²=2（AD²+AB²）

（2）若AB=4，AD=2，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②求旋转过程中线段PB长的最大值．

　　　　　

Answer

①②③

【解析】（1）①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE²=BD²+DE²，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE²=2AD²，BC²=2AB²，就有BC²=BD²+CD2≠BD²就可以得出结论．（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=1．由△PEB∽△AEC，得，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．②如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在 A上方与 A相切时，PB的值最大．求出PB即可．

（1）【解析】
如图甲：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

AD=AF，∠BAD=∠CAE，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，∴①正确；

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠CAB=90°，

∴∠ABD+∠AFB=90°，

∴∠ACE+∠AFB=90°．

∵∠DFC=∠AFB，

∴∠ACE+∠DFC=90°，

∴∠FDC=90°．

∴BD⊥CE，∴②正确；

③∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°．

∴∠ACE+∠DBC=45°，∴③正确；

④∵BD⊥CE，

∴BE2=BD2+DE2，

∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴DE2=2AD2，BC2=2AB2，

∵BC2=BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．

故答案为①②③．

（2）①【解析】
a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=2．

∵∠EAC=90°，

∴CE=，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴，

∴

∴PB=．

b、如图中，当点E在BA延长线上时，BE=6．

∵∠EAC=90°，

∴CE=

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB=

综上，PB=或．

②【解析】
如图中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC=，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=2，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD=AE=2，

∴PB=BD+PD=2+2．

综上所述，PB长的最大值是2+2．