Question

已知O为坐标原点，抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x₁•x₂＜0，|x₁|+|x₂|=4，点A，C在直线y₂=﹣3x+t上．

（1）当y₁随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

（2）将抛物线y₁向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y₂向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n²﹣5n的最小值．

Answer

（1）若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（2）当n=时，2n2﹣5n的最小值为﹣．

【解析】

（1）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，-3），即c=-3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；

（2）利用①若c=3，则y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，y2=-3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=-（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=-3，则y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x-1+n）2-4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．

（1）∵x1x2＜0，

∴x1，x2异号，

①若C（0，3），即c=3，

把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，

∴y2=﹣3x+3，

把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，

即x1=1，

∴A（1，0），

∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，

∵|x1|+|x2|=4，

∴1﹣x2=4，

解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．

②若C（0，﹣3），即c=﹣3，

把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，

∴y2=﹣3x﹣3，

把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，

则﹣3x1﹣3=0，

即x1=﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0

∵|x1|+|x2|=4，

∴1+x2=4，

解得：x2=3，则B（3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

则当x≥1时，y随x增大而增大，

综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；

若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；

（2）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，

y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，

则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，

即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，

解得：n≤﹣1，

∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；

②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，

y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，

则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，

解得：n≥1，

综上所述：n≥1，

2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，

∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．