Question

在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax²+bx+8过点（﹣2，0）．

（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+8，其顶点为（1，9）（2）y=﹣x2+2x+3

【解析】

试题分析:(1)根据对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+8过点（﹣2,0）,可得,解得即可求解,(2)设令平移后抛物线为,

可得D（1,k）,B（0,k-1）,且,根据BC平行于x轴,可得点C与点B关于对称轴x=1对称,可得C（2,k-1）, 根据,解得,即.

作DH⊥BC于H,CT⊥x轴于T, 则在△DBH中,HB=HD=1,∠DHB=90°,

又AC∥BD,得△CTA∽△DHB,所以CT=AT，即,

解得k=4,即可求平移后的二次函数解析式.

试题解析:（1）由题意得:,解得:,

所以抛物线的表达式为,其顶点为（1,9）.

（2）令平移后抛物线为,

易得D（1,k）,B（0,k-1）,且,

由BC平行于x轴,知点C与点B关于对称轴x=1对称,得C（2,k-1）,

由,解得（舍正）,即.

作DH⊥BC于H,CT⊥x轴于T,

则在△DBH中，HB=HD=1,∠DHB=90°,

又AC∥BD，得△CTA∽△DHB,

所以CT=AT，即,

解得k=4,

所以平移后抛物线表达式为.