Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（0，3）且对称轴是直线x=2．

（1）求该函数的表达式；

（2）在抛物线上找点，使△PBC的面积是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标．

Answer

（1）y=x2﹣4x+3；（2）P的坐标为（2+，6）或（2﹣，6）．

【解析】

（1）将点A坐标代入可得c的值，根据对称轴可得b的值；
（2）先根据解析式求得点B、C的坐标，继而可得△ABC的面积，设点P（a，a2-4a+3），从而表示出△PBC的面积，根据二次函数的最小值及面积间关系得出关于a的方程，即可求得a的值，可得答案．

【解析】
（1）将点A（0，3）代入y=x2+bx+c，得：c=3，

∵抛物线对称轴为x=2，

∴﹣=2，得：b=﹣4，

∴该二次函数解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）令y=0，得：x2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴点B（1，0）、C（3，0），

则S△ABC=×2×3=3，

设点P（a，a2﹣4a+3），

则S△PBC=×2×|a2﹣4a+3|=|a2﹣4a+3|，

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴二次函数的最小值为﹣1，

根据题意可得a2﹣4a+3=6，

解得：a=2 ，

∴点P的坐标为（2+，6）或（2﹣，6）．