Question

已知二次函数的解析式为y＝－x²＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；

(3)当PC＝CO时，求P点坐标．

Answer

(1)B (4，0)，A (3，3); （2）△PCE周长的最大值为4＋2，P (1，3)；（3）P点坐标为(3－，1＋2)或(3＋，1－2).

【解析】

（1）令y=0,得－x2＋4x＝0，解方程即可得到点B的坐标，设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x中得：x＝－x2＋4x，解方程即可得出点A的坐标；

（2）根据题意画出图形，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，再求得PC＝－x2＋3x，由等腰三角形的性质得，当PC取最大值时，△PCE周长最大，进而求得当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，从而得出△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；

（3）当点P在点C上方时和当点P在点C下方时分别讨论分析.

【解析】
(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴点B坐标为(4，0)，

设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，

x＝－x2＋4x，

解得x1＝3，x2＝0(舍去)，

∴点A的坐标为(3，3);

（2）如图，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，

∵点A坐标为(3，3)；

∴∠AOB＝45°，

∴OD＝CD＝x，

∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，

∵PE∥x轴，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．

∵PE与线段OA相交，

∴0≤x≤1，

由PC＝－x2＋3x＝－(x－)2＋可知，抛物线的对称轴为直线x＝，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，

∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，

∴PE＝2，CE＝2，

∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋2，

∴△PCE周长的最大值为4＋2，

把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，

∴点P的坐标为(1，3)；

（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图，

①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝x，

∵P1C1＝OC1，

∴－x2＋3x＝x，

解得x1＝3－，x2＝0(舍去)．

把x＝3－代入y＝－x2＋4x得，

y＝－(3－)2＋4(3－)＝1＋2，

∴P1(3－，1＋2)，

②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝x，

∵P2C2＝OC2，

∴x2－3x＝x，

解得x1＝3＋，x2＝0(舍去)，

把x＝3＋代入y＝－x2＋4x，

得y＝－(3＋)2＋4(3＋)＝1－2，

∴P2(3＋，1－2)．

综上所述，P点坐标为(3－，1＋2)或(3＋，1－2)．