Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x²＋bx＋C的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－4，0)．

(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；

(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

Answer

(1) y＝－x2＋x＋8，C (8，0)；(2) ①50；②18.

【解析】

（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标
（2）①连结DF，OF，如图，设F（t，-t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF=-t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；
②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t-8，-t2+t+12），然后把E（t-8，-t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．

【解析】
(1)∵二次函数y＝－x2＋Bx＋C过A(0，8)、B(－4，0)两点，

∴ ，解得 ，

∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋8，

当y＝0时，解得x1＝－4，x2＝8，

∴C点坐标为(8，0)；

（2）①如解图，连接DF，OF，设F(M，－M2＋M＋8)，

∵S四边形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝S△ODF＋S△OCF，

∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD，

＝×4×M＋×8×(－M2＋M＋8)－×8×4

＝2M－M2＋4M＋32－16

＝－M2＋6M＋16

＝－(M－3)2＋25，

当M＝3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，

∵四边形CDEF为平行四边形，

∴S四边形CDEF＝2S△CDF＝50，

∴S的最大值为50；

②S＝18.

∵四边形CDEF为平行四边形，

∴CD∥EF，CD＝EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E(M－8，－M2＋M＋12)，

∵E(M－8，－M2＋M＋12)在抛物线上，

∴－ (M－8)2＋(M－8)＋8＝－M2＋M＋12，

解得M＝7，

当M＝7时，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9，

∴此时S＝2S△CDF＝18.