Question

如图，正方形的边长为，是边的中点，点在射线上，过作于，设．

（1）求证：；

（2）当也是边中点时，求的值；

（3）若以，，为顶点的三角形也与相似，试求的值；

（4）当点与点重合时，设交于点，试判断与的大小关系并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）或；（4）．

【解析】

（1）先证明∠PAF＝∠AEB，再由∠PFA＝∠ABE＝90°，即可证出△PFA∽△ABE．

（2）当P是AD的中点时，AP＝2，由△PFA∽△ABE，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；

（3）分两种情况：当△EFP∽△ABE时，则PE∥AB，得出四边形ABEP为矩形．求出PA＝EB＝2，即x＝2；当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时，先求出∠PAF＝∠AEB，得到PE＝PA ，再由勾股定理得出AE的长，再得出EF的长，根据相似三角形的性质求出PE的长，即可得出结论；

（4）先证明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再证明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE＝∠BAE．

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∴∠ABE＝90°，∠PAF＝∠AEB．

又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝∠ABE＝90°，∴△PFA∽△ABE．

（2）当P是AD的中点时，AP＝2．

∵△PFA∽△ABE，∴，即，∴AF；

（3）分两种情况：

①当△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB时，则有PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA＝EB＝2，即x＝2．

②当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时．

∵∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF，∴PE＝PA．

∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．

∵AE，∴EF

，即，∴PE＝5，∴AP=5，即x＝5；

∴满足条件的x的值为2或5；

（4）∠GAE＝∠BAE．理由如下：

如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠BAE+∠AEB＝90°．

∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴AE．

∵PE⊥AE，∴∠AEP＝90°，∠AEB+∠CEG＝90°，∴∠CEG＝∠BAE，∴△ECG∽△ABE，∴，即，∴CG＝1，∴EG

，∴．

又∵∠AEP＝∠B＝90°，∴△AEG∽△ABE，∴∠GAE＝∠BAE．