Question

已知关于x的一元二次方程：x²﹣2（m+1）x+m²+5＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若原方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²＝|x₁|+|x₂|+2x₁x₂，求m的值．

Answer

（1）m＞2；（2）m＝3.

【解析】

试题（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=2（m+1）、x1•x2=m2+5，结合m的取值范围即可得出x1＞0、x2＞0，再由x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m﹣18=0，解之即可得出m的值．

试题解析：（1）【解析】
∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根， ∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）=8m﹣16＞0，

解得：m＞2．

（2）【解析】
∵原方程的两个实数根为x1、x2 ， ∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5．

∵m＞2，

∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1•x2=m2+5＞0，

∴x1＞0、x2＞0．

∵x12+x22= ﹣2x1•x2=|x1|+|x2|+2x1•x2 ，

∴4（m+1）2﹣2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m﹣18=0，

解得：m=3.