Question

某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

Answer

（1）；（2），；（3）售价定为90元．利润最大为7500元.

【解析】

(1)当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y=260-x(50≤x≤80)，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y=420-3x(80＜x＜140)；

（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式；

（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较.

【解析】
当时，，即，

当时，，即．

则；

由利润（售价-成本）销售量可以列出函数关系式，

，

；

当时，，

当有最大值，最大值为，

当时，，

当时，有最大值，最大值为，

故售价定为元．利润最大为元．

故答案为：（1）；（2），；（3）售价定为90元．利润最大为7500元.