Question

如图，已知：二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．

（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．

【解析】

（1）由点A，D的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，连接BD，交抛物线的对称轴于点P，由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度，再由点B，D的坐标，利用两点间的距离公式可求出PA+PD的最小值；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点M的坐标为（x，x2+2x-3），由△ABM的面积等于△ABC的面积可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出点M的坐标；

（4）设点Q的坐标为（-1，m），结合点B，C的坐标可得出CQ2，BQ2，BC2，分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三种情况，找出关于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点Q的坐标．

【解析】
（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3．

（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴点B的坐标为（1，0）．

连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示．

∵PA＝PB，

∴此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度．

∵点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣2，﹣3），

∴BD＝＝3，

∴PA+PD的最小值为3．

（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

设点M的坐标为（x，x2+2x﹣3）．

∵S△ABM＝S△ABC，

∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，

解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），

∴点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．

（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．

∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），

∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．

分三种情况考虑（如图2所示）：

①当BQ＝BC时，m2+4＝10，

解得：m1＝，m2＝﹣，

∴点Q1的坐标为（﹣1，），点Q2的坐标为（﹣1，﹣）；

②当CQ＝CB时，m2+6m+10＝10，

解得：m3＝0，m4＝﹣6，

∴点Q3的坐标为（﹣1，0），点Q4的坐标为（﹣1，﹣6）；

③当QB＝QC时，m2+4＝m2+6m+10，

解得：m5＝﹣1，

∴点Q5的坐标为（﹣1，﹣1）．

综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．