Question

如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S_△ABC＝S_△DBC，求点D的坐标．

Answer

（1）y＝，x＝3；（2）P（3，）；（3）D的坐标为（6，4）．

【解析】

（1）因为抛物线经过点B（1，0），C（5，0），可以假设抛物解析式为y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．求出直线AC的解析式即可解决问题；

（3）根据面积相等且底边相等的三角形的高也应该相等得出D的纵坐标为±4，代入抛物线的解析式即可求得．

（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0），

∴可以假设抛物解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），把A（0，4）代入得4＝5a，

∴a＝，

∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4．

抛物线对称轴x＝＝3．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∵A（0，4），C（5，0），

∴，

解得，

∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，

把x＝3代入得，y＝，

∴交点P为（3，）；

（3）根据题意得D的纵坐标为±4，

把y＝4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣x+4＝4，

解得x＝0或6，

把y＝﹣4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣6x+10＝0，

∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×10＜0，

∴无解，

(0,4)为A点(舍)，D的坐标为（6，4）．