Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．

（1）求证：△ADF≌△CEF；

（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题（1）根据在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中点，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可证明：△ADF≌△CEF．

（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可证明△DFE是等腰直角三角形．

试题解析：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

又∵F是AB中点，

∴∠ACF=∠FCB=45°，

即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，

在△ADF与△CEF中，

，

∴△ADF≌△CEF；

（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，

∴DF=FE，

∴△DFE是等腰三角形，

又∵∠AFD=∠CFE，

∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，

∴∠AFC=∠DFE，

∵∠AFC=90°，

∴∠DFE=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．