Question

在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．

（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝　   　（用α的代数式表示），∠BFC的度数为　   　°；

（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．

Answer

（1）α﹣45°，45°；（2）图详见解析，点A到直线BE的距离为 ．

【解析】

（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．

（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．

【解析】
（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，

∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，

而∠BAC＝45°，

∴∠CAD＝α﹣45°；

∵AB＝AD，AE＝AC，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，

∴∠ABD＝∠ACE，

∴∠BFC＝∠BAC＝45°．

故答案为α﹣45°；45°；

（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，

∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，

而AB＝AC，∠BAC＝45°，

∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴BE＝AB＝2，

而AG平分∠BAE，

∴AG⊥BE，

∴AG＝BE＝，

即此时点A到直线BE的距离为．