Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．

（1）直接写出a，k的值；

（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．

Answer

（1）k＝2；（2）详见解析；

【解析】

（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；

（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．

【解析】
（1）∵双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，

∴点A与点B关于原点对称，

∴a＝﹣2，b＝1，

∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；

（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，

∴点P的坐标为（1，2），

∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，

∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），

∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，

∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，

∴∠MPN＝90°，

∴PM⊥PN．