Question

已知抛物线G：y＝x²﹣2ax+a﹣1（a为常数）．

（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；

（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．

①分别用含a的代数式表示p，q；

②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；

③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在　   　的图象上．

A．一次函数          B．反比例函数        C．二次函数

（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x²﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：　   　（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝　   　，b＝　   　．

Answer

（1）（3，﹣7）；（2）①p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②q＝﹣p2+p﹣1；③C;（3）y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．

【解析】

（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；

（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；

②根据①中的结果可以解答本题；

③根据①②可以解答本题；

（3）答案不唯一，只要符合要就即可．

【解析】
（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，

∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；

（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，

∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），

∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；

②由①可得，

q＝﹣p2+p﹣1；

③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，

故答案为：C；

（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，

∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，

∴顶点坐标为（a，a），

∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，

∴k＝1，b＝0，

故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．