Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．

（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝　   　°，此时OM和BD′之间的位置关系为　   　；

（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．

Answer

（1）150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，

根据周角的定义即可得到结论；

（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．

【解析】
（1）∵C′D′∥AB，

∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，

∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，

∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，

∴∠BOD′＝120°，

∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，

∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；

故答案为：150，垂直；

（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，

证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，

∵AC′的中点M，

∴EM∥OC′，EM＝OC′，

∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，

∴∠BOD′+′AOC′＝180°，

∴∠OEM＝∠BOD′，

∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，

∴＝＝＝，

∴，

∴△EOM∽△OBD′，

∴∠AOM＝∠2，，

即OM＝BD′，

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，

∴OM⊥BD′．