Question

在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．

（1）已知点P（4，﹣1）．

①在Q₁（1，﹣1），Q₂（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是　   　；

②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x_M的取值范围；

（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．

Answer

（1）①Q1；②0＜xM＜2，（2）＜r≤．

【解析】

（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；

②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝x﹣1上，即可判断出结论；

（2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．

【解析】
（1）①

作出图形，由内对称点的意义得，点P关于线段AB的内称点的是Q1，

故答案为Q1；

②如图2，

点P（4，﹣1）关于AB所在直线的对称点P'（0，﹣1），此时，点P'恰好在直线y＝x﹣1上，

∵点M是点P关于线段AB的内对称点，

∴点M关于AB所在直线的对称点M'落在△ABP内部（不含边界），

∵点M在直线y＝x﹣1上，

∴点M应在线段P'G上（点G为线段AB与直线y＝x﹣1的交点），且不与两个端点P'，G重合，

∴0＜xM＜2，

（2）如图3，

∵点E是点D关于线段AB的内称点，

∴点E关于AB所在直线的对称点E'应在△ABD内部（不含边界），

∵点D关于AB所在直线的对称点为原点O，

∴点E应在△ABO的内部（不含边界），

∵A（2，2），C（3，3），D（4，0），

∴AC＝，AD＝2，CD＝，

∴AC2+AD2＝CD2，

∴∠CAD＝90°，

∴AC⊥AD，

此时，直线DA与以AC为半径的⊙C相切，半径AC＝，

当直线DE与以CD为半径的⊙C相切，点D为切点，⊙C的半径最大，最大值为，

∴符合题意的⊙C的半径r的取值范围是＜r≤．