Question

如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．

Answer

1

【解析】

如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；

【解析】
如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．

∵∠POB＝∠PAB＝90°，

∴P、O、B、A四点共圆，

∴∠AOB＝∠APB，

∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，

在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，

解得k＝（负根已经舍弃），

∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝，

∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，

∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，

∴△AMB∽△PNA，

∴＝，

∴＝，

∴BM＝，

∴OB＝OM﹣BM＝1．

故答案为1