Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．

（1）求证：∠PCE＝∠PEC；

（2）若AB＝10，ED＝，sinA＝，求PC的长．

Answer

（1）见解析；（2）PC＝．

【解析】

（1）由弦切角定理可知∠PCA＝∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB＝90°．由同角的余角相等可知∠AED＝∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE＝∠PEC；

（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC＝8，AE＝，由等腰三角形三线合一的性质可知EF＝，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．

（1）∵PC是圆O的切线，

∴∠PCA＝∠B．

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∴∠A+∠B＝90°．

∵PD⊥AB，

∴∠A+∠AED＝90°．

∴∠AED＝∠B．

∵∠PEC＝∠AED，

∴∠PCE＝∠PEC．

（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．

∵AB＝10，sinA＝，

∴BC＝AB•＝6．

∴AC＝＝8．

∵DE＝，sinA＝，

∴AE＝．

∴EC＝AC﹣AE＝8﹣＝．

∵PC＝PE，PF⊥EC，

∴EF＝．

∵∠AED＝∠PEF，∠EDA＝∠EFP，

∴△AED∽△PEF．

∴，．

解得：EP＝．

∴PC＝．