Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y＝mx²﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）若抛物线C₂：y＝a（x﹣1）²﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）B（﹣1，0）；（3）a的取值范围为≤a≤4．

【解析】

（1）直接把点A的坐标代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，然后求出m的值即可得到抛物线的解析式；

（2）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2+2x+3＝0可得到B点坐标；

（3）抛物线y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），则开口向上，根据二次函数的性质，抛物线C2与线段AB的公共点为B点时，a最小；当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，然后把A、B两点的坐标分别代入计算出对应的a的值，从而可确定a的取值范围．

（1）把A（0，3）代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，解得m＝﹣1，

所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

所以B（﹣1，0）；

（3）抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），

因为抛物线C2与线段AB恰有一个公共点，则开口向上，

当抛物线C2与线段AB的公共点为B点时，a最小，把B（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得4a﹣1＝0，解得a＝；

当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，把A（0，3）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得a﹣1＝3，解得a＝4，

所以a的取值范围为≤a≤4．