Question

在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．

（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的是哪个三角形，∠ACQ的度数．

（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；

（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．

Answer

（1）△PQC，90；（2）；（3）线段CQ的长为2或8．

【解析】

（1）依据条件判定△APF≌△PQC，可得∠PCQ＝∠AFP＝135°，依据∠ACB＝45°，可得∠ACQ＝90°；

（2）过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，判定△AFP≌△PCQ，可得FP＝CQ，再根据△ABC∽△FBP，可得，进而得出 ；

（3）分两种情况进行讨论：点P在CB的延长线上，点P在BC的延长线上，分别依据全等三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，即可得到线段CQ的长．

（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵PF∥AC，

∴∠BPF＝∠BFP＝45°，

∴△BPF是等腰直角三角形，

∴BF＝BP，

∴AF＝CP，

由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，

∴∠QPC＝45°﹣∠APF，

又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，

∴∠PAF＝∠QPC，

∴△APF≌△PQC（SAS）

∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，

又∵∠ACB＝45°，

∴∠ACQ＝90°，

故答案为：△PQC，90；

（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，

又∵AB＝BC，

∴AF＝CP，

又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，

∴∠FAP＝∠CPQ，

由旋转可得，PA＝PQ，

∴△AFP≌△PCQ（SAS），

∴FP＝CQ，

∵PF∥AC，

∴△ABC∽△FBP，

∴

∴；

（3）如图，当P在CB的延长线上时，

∵∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，

∴∠APC＝∠QPC，

又∵AP＝QP，PC＝PC，

∴△APC≌△QPC（SAS），

∴CQ＝AC，

又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，

∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，

∴QC＝AC＝BC＝2；

如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，

由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，

∴△APQ是等边三角形，

∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，

又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，

∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，

∴∠CAP＝∠APA，

∴AC＝PC，且AQ＝PQ，CQ＝CQ

∴△ACQ≌△PCQ（SSS）

∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，

∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．

综上所述，线段CQ的长为2或8．