Question

一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23＝132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．

（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由．

（2）证明：当一个“伯伯数”是“公主数”时，则z＝2x．

（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．

Answer

（1）123不是“公主数”．（2）详见解析；（3）这个“伯伯数”为154或297或583或440．

【解析】

（1）根据“公主数”的定义判断即可；

（2）由题意 ，消去y即可解决问题；

（3）设“伯伯数”为，则y＝x+z，则有100x+10y+z+132＝110x+11z+11×12＝11（10x+z+12），由一个“伯伯数”与132的和能被13整除，可得10x+z+12＝13×2或13×3或13×5或13×4，求出整数解即可解决问题；

（1）【解析】
因为13+31+12+21+32+23＝132≠123，

所以123不是“公主数”．

（2）证明：由题意，

∴22（x+x+z+z）＝100x+10（x+z）+z，

∴33z＝66x，

∴z＝2x．

（3）设“伯伯数”为，则y＝x+z，

100x+10y+z+132＝110x+11z+11×12＝11（10x+z+12），

∵一个“伯伯数”与132的和能被13整除，

∴10x+z+12＝13×2或13×3或13×5或13×4

∴或或或

∴这个“伯伯数”为154或297或583或440．