Question

如图，等腰直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC边上一点，∠CBD＝30°，点E是BD边上一点，且CE＝AB．

（1）如图①，若AB＝2，求S_△CBE

（2）如图②，过点E作EQ⊥BD交BC于点Q，求证：AC＝BD+2EQ．

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△CHE中求出HE，再求出EB即可解决问题；

（2）连接DQ、作CH⊥BD于H．首先证明△CHE∽△ACB，推出∠CEH＝∠ABC＝45°，由∠DCQ＝∠DEQ＝90°，推出∠DCQ+∠DEQ＝180°，推出C、D、E、Q四点共圆，推出∠CQD＝∠CED＝45°，推出△CDQ是等腰直角三角形，推出CD＝CQ，AD＝BQ，由AC＝CD+AD，CQ＝CQ＝BD，BQ＝2EQ，可得结论；

（1）【解析】
如图①中，作CH⊥BD于H．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，

∴AC＝BC＝2，

在Rt△BCH中，∵∠CBH＝30°，

∴CH＝BC＝1，BH＝，

∵CE＝AB＝，

∴HE＝ 1，

∴BE＝﹣1，

∴S△CBE＝•BE•CH＝•（﹣1）•1＝．

（2）证明：如图②中，连接DQ、作CH⊥BD于H．

∵＝＝，∠CHE＝∠ACB＝90°，

∴△CHE∽△ACB，

∴∠CEH＝∠ABC＝45°，

∵∠DCQ＝∠DEQ＝90°，

∴∠DCQ+∠DEQ＝180°，

C、D、E、Q四点共圆，

∴∠CQD＝∠CED＝45°，

∴△CDQ是等腰直角三角形，

∴CD＝CQ，AD＝BQ，

∵AC＝CD+AD，CQ＝CQ＝BD，BQ＝2EQ，

∴AC＝BD+2EQ．