Question

如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，且3OC＝4OB，对称轴为直线x＝，点E，连接CE交对称轴于点F，连接AF交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式和直线CE的解析式；

（2）如图②，过E作EP⊥x轴交抛物线于点P，点Q是线段BC上一动点，当QG+QB最小时，线段MN在线段CE上移动，点M在点N上方，且MN＝，请求出四边形PQMN周长最小时点N的横坐标；

（3）如图③，BC与对称轴交于点R，连接BD，点S是线段BD上一动点，将△DRS沿直线RS折叠至△D′RS，是否存在点S使得△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出BS的长，若不存在，请说明理由．（参考数据：tan∠DBC＝）

Answer

（1）y＝﹣2x+4．（2）；（3）BS的值为或．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1中，作QH⊥AB于H．首先求出直线AF的解析式，利用方程组求出点G坐标，再证明GQ+BQ＝GQ+QH，推出当G、Q、H三点共线时，GQ+BQ的值最小，最小值为，此时Q（，）．如图2中，将点Q沿CE方向平移个单位得到Q′，作点Q′关于直线CE的对称点Q″，连接PQ″交直线CE于M，此时四边形PQNM的周长最小．想办法求出点M的坐标即可解决问题；

（3）分两种情形，①如图3中，当RS⊥BD时，△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形．②如图4中，当RD′⊥BD时，分别求解即可；

【解析】
（1）由题意C（0，4），

∴OC＝，

∵3OC＝4OB，

∴OB＝3，

∴B（3，0），

∵抛物线的对称轴x＝，

∴A（﹣，0），

设抛物线的解析式为y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．

设直线CE的解析式为y＝kx+b，则有，解得，

∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+4．

（2）如图1中，作QH⊥AB于H．

由（1）可知F（，2），

∴直线AF的解析式为y＝x+，

由，解得或，

∴G（，），

∵QH∥CO，BC＝＝5，

∴，

∴QH＝BQ，

∴GQ+BQ＝GQ+QH，

∴当G、Q、H三点共线时，GQ+BQ的值最小，最小值为，此时Q（，）．

如图2中，将点Q沿CE方向平移个单位得到Q′，作点Q′关于直线CE的对称点Q″，连接PQ″交直线CE于M，此时四边形PQNM的周长最小．

易知Q′（，2），Q″（，），

∵P（2，4），

∴直线PQ″的解析式为y＝x+，

由，解得，

∴M（，），

∵MN＝，可得N（，），

∴点N的横坐标为．

（3）如图3中，①当RS⊥BD时，△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形．

设抛物线的对称轴交x轴于H设抛物线的对称轴交x轴于H．由题意：BH＝2，DH＝，BD＝＝ ，

∵RH∥CO，

∴，

∴RH＝，DR＝DH﹣RH＝，

∵△DRS∽△DBH，

∴，

∴RS＝，DS＝，

∴BS＝BD﹣DS＝．

②如图4中，当RD′⊥BD时，设垂足为K，作SG⊥DH于G．

∵∠SRD＝∠SRD′，SG⊥RD，SK⊥RD′，

∴SG＝SK，设SG＝SK＝n，

∵D（，），DR＝RH＝，BD＝＝，

在Rt△GSD中，∵DG2+SG2＝SD2，

∴（﹣）2+m2＝（﹣m）2，

解得m＝﹣，

∴SB＝SK+BK＝﹣+＝+

综上所述，满足条件的BS的值为或+．