Question

如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．

Answer

8

【解析】

作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，易证E点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF，再由PD=DF易证△EPD≌△GDF，则可得FG=DE，故F点的运动轨迹为平行于BC的线段，据此可进行求解.

【解析】
作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB，即∠

∵DE’⊥AB，∠B=60°，

∴BE’=BD×=2，

∴E点和E’点重合，

∴∠EDB=30°，

∴∠EDB+∠PDF=90°，

∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE，

∴∠DPE=∠GFD

∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP，

∴△EPD≌△GDF，

∴FG=DE，DG=PE，

∴F点运动的路径与G点运动的路径平行，即与BC平行，

由图可知，当P点在E点时，G点与D点重合，

∵DG=PE，

∴F点运动的距离与P点运动的距离相同，

∴F点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8，

故答案为：8.