Question

已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．

（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：DE⊥CF：

（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA：

（3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，试判断是否为定值，并证明．

Answer

（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析

【解析】

（1）根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到∠A=∠FDC=90°，根据相似三角形的性质得到∠CFD=∠AED，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△DFG∽△DEA，推出，根据△CGD∽△CDF，得到

，等量代换即可得到结论；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，解方程得到CN，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．

（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠FDC＝90°，

∵AD•DF＝AE•DC，

∴

∴△AED∽△DFC，

∴∠CFD＝∠AED，

∵∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠ADE+∠CFD＝90°，

∴∠DGF＝90°，

∴DE⊥CF；

（2）证明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，

∴△DFG∽△DEA，

∴

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，∠AED＝∠EDC，

∴∠B＝∠ADC，

∵△DFG∽△DEA，

∴∠AED＝∠DFG，

∴DFC＝∠GDC，

∵∠DCG＝∠FCD，

∴△CGD∽△CDF，

∴

∴，

∴DE•CD＝CF•DA；

（3）【解析】
为定值，

理由：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，

∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，

∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，

∴四边形AMCN是矩形，

∴AM＝CN，AN＝CM，

∵在△BAD和△BCD中，

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD＝∠A＝90°，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∵∠ABC+∠CBM＝180°，

∴∠MBC＝∠ADC，

∵∠CND＝∠M＝90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴,

∴

∴

在Rt△CMB中，，BM＝AM﹣AB＝x﹣3，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，

∴

x＝0（舍去），

∴

∵∠A＝∠FGD＝90°，

∴∠AED+∠AFG＝180°，

∵∠AFG+∠NFC＝180°，

∴∠AED＝∠CFN，

∵∠A＝∠CNF＝90°，

∴△AED∽△NFC，

∴