Question

如图，PB为⊙O的切线，点B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF，

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OB，先由切线的性质得出∠OBP=90°，再证明△OPA≌△OPB，由对应角相等得出∠OAP=∠OBP=90°，即可得出结论；

（2）根据相似三角形对应边成比例求得OD＝BC＝3，设AD＝x，再由tan∠F＝得FD＝2x，则OA＝OF＝2x﹣3，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，求出AB、AC的长，即可求出cos∠ACB的值求出．

证明：（1）连接OB，

∵PB是⊙O的切线，

∴∠PBO＝90°，

∵OA＝OB，BA⊥PO于D，

∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∴OA⊥PA，

∴直线PA为⊙O的切线；

（2）∵OA＝OC，AD＝DB，

∴OD＝BC＝3，

设AD＝x，

∵tan∠F＝，

∴FD＝2x，则OA＝OF＝2x﹣3，

在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即（2x﹣3）2＝32+x2，

解得，x＝4，

则AD＝4，AB＝8，

∵AC是直径

∴∠ABC＝90°

∴AC＝＝10

∴cos∠ACB＝＝=