Question

阅读下列材料：因为(x－1)(x＋4)＝x²＋3x－4，所以(x²＋3x－4)÷(x－1)＝x＋4，这说明x²＋3x－4能被x－1整除，同时也说明多项式x²＋3x－4有一个因式为x－1；另外，当x＝1时，多项式x²＋3x－4的值为0.

(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0，多项式有一个因式为x－1，多项式能被x－1整除，这之间存在着什么联系？

(2)探求规律：一般地，如果有一个关于字母x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，那么M与代数式x－k之间有什么关系？

(3)应用：已知x－3能整除x²＋kx－15，求k的值．

Answer

（1）见解析；（2）多项式M能被x－k整除；（3）k＝2.

【解析】

(1)根据题意和多项式有因式(x-1)，说明多项式能被(x-1)整除，当x=1时，多项式的值为0；

(2)根据(1)得出的关系，能直接写出当x=k时，M的值为0，M与代数式x-k之间的关系；

(3)根据上面得出的结论，当x=2时，x2+kx-15=0，再求出k的值即可．

(1)若多项式有一个因式为x－1，则x－1＝0，即x＝1时，多项式的值为0；若多项式有一个因式为x－1，则多项式必能被x－1整除；

(2) 根据(1)得出的关系，可知多项式M能被x－k整除；

(3)由x－3＝0得x＝3，且x－3能整除x2＋kx－15，

∴当x＝3时，多项式x2＋kx－15的值为0，

即32＋3k－15＝0，∴k＝2.