Question

如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．

（1）求证：△ADE≌△BCF；

（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．

（1）∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCF．

∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA，∴∠FCB＝∠EDA．

在△ADE与△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS）；

（2）∵DE∥AC，且DE＝AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DC＝EF，且DC∥EF．

又∵AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形．

∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC．

∵∠BAF+∠AED＝180°，∴∠BAF+∠BFC＝180°．

又∵∠BFA+∠BFC＝180°，∴∠BAF＝∠BFA，∴BA＝BF，∴四边形ABFE为菱形．