Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD＝AD，B点的坐标为（﹣6，n）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．

Answer

（1）y，y＝x+2；（2）当P点坐标为（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）时，△AOP是等腰三角形．

【解析】

（1）先根据勾股定理求出OD＝3，AD＝4，得出点A（3，4），进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB解析式；

（2）设出点P坐标，进而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的两边相等分三种情况建立方程求解即可得出结论．

（1）∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°．

在Rt△AOD中，AO＝5，ODAD，∴AD＝4，OD＝3，∴A（3，4），∴k＝3×4＝12，∴y．

又点B在反比例函数上，∴n2，∴B（﹣6，﹣2）．

∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2）在直线AB上，∴，∴，∴AB直线的表达式为yx+2；

（2）设点P（0，m）．

∵A（3，4），O（0，0），∴OA＝5，OP＝|m|，AP．

∵△AOP是等腰三角形，∴分三种情况讨论：

①当OA＝OP时，∴|m|＝5，∴m＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5）；

②当OA＝AP时，∴5，∴m＝0（舍）或m＝8，∴P（0，8）；

③OP＝AP时，∴|m|，∴m，∴P（0，）．

综上所述：当P点坐标为（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）时，△AOP是等腰三角形．