Question

观察下列等式：

(x＋1)(x²－x＋1)＝x³＋1，

(x＋3)(x²－3x＋9)＝x³＋27，

(x＋6)(x²－6x＋36)＝x³＋216，

…

(1)按以上等式的规律，填空：(a＋b)(________)＝a³＋b³；

(2)运用上述规律猜想：(a－b)(a²＋ab＋b²)＝________，并利用多项式的乘法法则，通过计算说明此等式成立；

(3)利用(1)(2)中的结论，化简：(x＋y)(x²－xy＋y²)－(x－y)(x²＋xy＋y²)．

Answer

(1)a2－ab＋b2；（2）a3－b3；（3）2y3.

【解析】

（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；

（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；

（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．

(1) （a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3，

故答案为：a2－ab＋b2；

(2)(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，

故答案为：a3－b3，

(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3；

(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x－y)(x2＋xy＋y2)

＝x3＋y3－(x3－y3)

＝x3＋y3－x3＋y3

＝2y3.