Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．

（1）若CB=4，BE=5，求AE的长；

（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC；

小洁在遇到此问题时不知道怎么下手，秦老师提示他可以过点C作CHCF，交DB于点H,先证明△AFC△BHC，然后继续思考，并鼓励小洁把证明过程写出来．请你帮助小洁完成这个问题的证明过程．

Answer

（1）1；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质求出AC和BC的长，由勾股定理求出CE的长，再根据AE=AC-CE即可求出AE的长;

（2）过点C作CM⊥CF交BD于点M，先通过证△ACF≌△BCM，得出FC=MC，∠CFM=45°，进而得出∠AFC=∠DFC，结合已知条件可证△ACF≌△DCF，从而可得AC=DC，通过等量代换可得DC=BC.

（1）在△ABC中，

CE==3

∴AE=AC-CE=4-3=1.

（2）如图，过点C作CM⊥CF交BD于点M.

∴∠FCM=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FCA=∠MCB，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB=90°，

∴∠AFE=∠ACB，

∵∠AEF=∠BEC，

∴∠CAF=∠CBM，

在△ACF和△BCM中，

∵∠FCA=∠MCB，

AC=BC,

∠CAF=∠CBM，

∴△ACF≌△BCM

∴FC=MC，

又∵∠FCM=90°，

∴∠CFM=∠CMF=45°，

∴∠AFC=90°+45°=135°，∠DFC=180°-45°=135°，

∴∠AFC=∠DFC.

在△ACF和△DCF中，

∵AF=DF,

∠AFC=∠DFC,

CF=CF,

∴△ACF≌△DCF，

∴AC=DC，

∵AC=BC，

∴DC=BC.