Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-C-B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）

（1）AC边上是否存在点P，使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由．

Answer

（1）t=；(2)t=2或或或

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，从而分别表示出PC、BC、BP的长，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）当点P在顶点处时就是在角平分线上，然后再分点P在AC和∠ABC的角平分线的交点处和点P在BC和∠BAC的角平分线的交点处利用相似三角形列式求得t值即可．

【解析】
（1）如图1，设存在点P，使得PA=PB，

此时PA=PB=2t，PC=4-2t，

在Rt△PCB中，

PC2+CB2=PB2，

即：（4-2t）2+32=（2t）2，

解得：t=，

∴当t=时，PA=PB；

（2）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，

∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，

当点P在点C处时，

∵t=4÷2=2s；

点P在点B处时，

∴t=（4+3）÷2=；

当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2，

此时AP=2t，PC=PM=4-2t，

∵△APM∽△ABC，

∴AP：AB=PM：BC，

即：2t：5=（4-2t）：3，

解得：t=；

当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如图3，

此时BP=7-2t，PN=PC=（2t-4），

∵△BPN∽△BAC，

∴BP：BA=PN：AC，

即：（7-2t）：5=（2t-4）：4，

解得：t=，

综上，当t=2s或s或s或s时，点P在△ABC的角平分线上．