Question

如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数是（    ）

A. 30°；    B. 40°；    C. 50°；    D. 60°.

Answer

C

【解析】过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥BA于点F，PH⊥AC于点H，

∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，

∴PE=PH，PE=PF，∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，

∴PH=PF，

∴点P在∠CAF的角平分线上，

∴AP平分∠FAC，

∴∠CAP=∠CAF.

∵∠PCD=∠BPC+∠PBC，

∴∠ACD=2∠BPC+2∠PBC，

又∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=2∠PBC，∠BPC=40°，

∴∠ABC+∠BAC=∠ABC+80°，

∴∠BAC=80°，

∴∠CAF=180°-80°=100°，

∴∠CAP=100°×=50°.

故选C.