Question

若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”.

（1）求证：对任意“好数”m，m²-64一定为20的倍数；

（2）若m=p²-q²，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定：，例如68=18²-16²，称数对（18,16）为“友好数对”，则，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题

（1）设的十位数字为，则由题意可得：，由此可得：，由此可得一定是20的倍数；

（2）设的十位数字为，则由题意可得：，结合，且为正整数及分=1或2或3或4进行讨论求得符合条件的的值，再求得对应的H（m）的值并比较大小即可求得本题答案.

试题解析：

（1）设的十位数字为，则由题意可得：，

∴，

∵为两位正整数的十位数字，

∴是整数，

∴是20的倍数；

（2）设的十位数字为，则由题意可得：，

∵，且为正整数，

∴，

又∵，

∴①当时，，此时没有满足条件的；

②当时，，此时满足条件的是数对（8，6），即，故H（28）=；

③当时，，此时没有满足条件的；

④当时，，此时满足条件的有数对（7，1）、（8，4）、（13，11），即，故H（48）=或H（48）=或H（48）=；

综上所述，∵，

∴小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为.