Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．

（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；

（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．

Answer

（1）见解析；（2）AD的值为5或．

【解析】

（1）先证明DF∥AE，EF∥AD即可；

（2）分两种情形分别求解即可解决问题；

（1）证明：∵AD＝DB，DE∥BC，

∴AE＝EC，

∵EF∥AB，

∴BF＝CF，∵AD＝DB，

∴DF∥AC，∵EF∥AB，

∴四边形DFEA是平行四边形．

（2）情形1：当点D是AB的中点，由（1）可知：DE∥BC，DF∥EC，

∴四边形DECF是平行四边形，

∵∠ECF＝90°，

∴四边形DECF是矩形，

∴∠EDF＝90°，△DEF是直角三角形，此时AD＝AB＝×＝5．

情形2：如图，当∠DFE＝90°时，设AD＝x．

则AE＝x．BD＝10﹣x，EC＝8﹣x，BF＝（10﹣x），CF＝（8﹣x），

∵BF+CF＝6，

∴（10﹣x）+（8﹣x）＝6

∴x＝，

综上所述，AD的值为5或．