Question

（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD＝3，AE＝4．填空：

①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）　   　；

②AC＝　   　；DE＝　   　．

（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．

（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．

Answer

（1）①相似；②；；（2）△ADB∽△AEC；（3）4+或4﹣．

【解析】

(1)①根据相似三角形的判定定理解答；

②根据勾股定理求出DE，根据相似三角形的性质列出比例式，求出AC；

(2)根据旋转变换的性质得到∠BAD＝∠CAE，根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；

(3)根据勾股定理求出BD，分两种情况计算即可．

【解析】
（1）①∵DE∥BC，

∴△ABC∽△ADE，

故答案为：相似；

②∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B＝90°，

∴DE＝＝，

∵△ABC∽△ADE，

∴ ，即，

解得，AC＝，

故答案为：；；

（2）△ADB∽△AEC，

理由如下：由旋转变换的性质可知，∠BAD＝∠CAE，

由（1）得，，又∠BAD＝∠CAE，

∴△ADB∽△AEC；

（3）如图2，在Rt△ADB中，BD＝＝4，

∵点B、D、E在同一条直线上，

∴BE＝BD+DE＝4+，

如图3，BE＝BD﹣DE＝4﹣，

综上所述，将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，线段BE的长为4+ 或4﹣．