Question

如图1，一次函数y＝x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．

（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；

（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△PAC的面积为20时，点P的坐标；

（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．

Answer

（1）P（﹣2，0）或（2，0）；（2）P（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；（3）点P的坐标为（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0）或（8，0）或（﹣3，0）．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的特点求出A，B坐标，进而求出OA，OB，最后用相似三角形得出比例式建立方程即可得出结论；

（2）先求出点C坐标，点P坐标，利用三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论；

（3）先求出AB2＝80，AP2＝（n+8）2，BP2＝n2+16，利用等腰三角形分三种情况建立方程求解即可得出结论．

【解析】
（1）一次函数y＝x+4，

令x＝0，

∴y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

令y＝0，

∴0＝x+4，

∴x＝﹣8，

∴A（﹣8，0），

∴OA＝8，

∵△BPO∽△ABO，

∴,

∴OP＝＝2，

∴n＝±2，

∴P（﹣2，0）或（2，0）；

（2）直线y＝2x+b①与直线AB：y＝x+4②相交于C，

联立①②解得，，

针对于直线PC：y＝2x+b，令y＝0，

∴2x+b＝0，

∴x＝﹣b，

∵△PAC的面积为20，

∴S△PAC＝|﹣b﹣（﹣8）|×||＝20，

∴b＝16±4，

∴n＝﹣（16±4）＝﹣4±2，

∴P（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；

（3）由（1）知，A（﹣8，0），B（0，4），

∵P（n，0），

∴AB2＝80，AP2＝（n+8）2，BP2＝n2+16，

∵以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形，

∴①当AB＝AP时，

∴AB2＝AP2，

∴80＝（n+8）2，

∴n＝﹣8±4，

∴P（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0），

②当AB＝BP时，

∴AB2＝BP2，80＝n2+16，

∴n＝8或n＝﹣8（和点A重合，所以，舍去），

∴P（8，0），

③当AP＝BP时，

∴AP2＝BP2，（n+8）2＝n2+16，

∴n＝﹣3，

∴P（﹣3，0），

即：点P的坐标为（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0）或（8，0）或（﹣3，0）．