Question

如图，矩形ABCD，延长BC到G，连接GD．作∠BGD的平分线交AB于E．若EG＝DG，AD＝AE．

（1）求证：GE＝2BE；

（2）若EG＝4，求梯形ABGD的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）12﹣2

【解析】

（1）根据已知证明△ADE是等腰直角三角形得∠AED＝45°，设∠BGE＝x，得∠BEG＝90°﹣x，∠DEG＝（180°﹣x），利用∠AED+∠DEG+∠BEG＝180°，即可求出x的度数,利用30°角所对直角边是斜边一半即可解题.

（2）先求出∠CGD=60°,然后解直角三角形求出CD的长度,根据矩形的对边相等求出AB的长度,在Rt△BGE中求出BE、BG的长度,然后求出AE,即可得到AD,然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解.

（1）证明：如图，连接DE，∵AD＝AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴∠AED＝45°，

设∠BGE＝x，

∵GE是∠BGD的平分线，

∴∠BGE＝∠DGE＝x，

在Rt△BGE中，∠BEG＝90°﹣x，

∵EG＝DG，

∴∠DEG＝（180°﹣x），

又∵∠AED+∠DEG+∠BEG＝180°，

∴45°+（180°﹣x）+90°﹣x＝180°，

解得x＝30°，

即∠BGE＝30°，

∴GE＝2BE；

（2）【解析】
∵GE是∠BGD的平分线，

∴∠CGD＝∠BGE+∠DGE＝30°+30°＝60°，

∴CD＝DGsin60°＝4×＝2，

在Rt△BGE中，BE＝EG＝×4＝2，

BG＝EGcos30°＝4×＝2，

∴AD＝AE＝AB﹣BE＝2﹣2，

梯形ABGD的面积＝（AD+BG）CD＝（2﹣2+2）×2＝（4﹣2）＝12﹣2．