Question

问题探究

（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．

（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；

问题解决

（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

Answer

（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）△APB周长的最大值4+4；（3）△PAB的周长最大值=2+4．

【解析】

试题根据全等三角形的判定SAS证明△ABM≌△BCN，即可证得AM⊥BN；

（2）如图②，以AB为斜边向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP，证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；

（3）如图③，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB，证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.

试题解析：（1）结论：AM⊥BN．

理由：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，

∵BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠CBN+∠ABN=90°，

∴∠ABN+∠BAM=90°，

∴∠APB=90°，

∴AM⊥BN．

（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．

∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，

∴四边形EFPG是矩形，

∴∠FEG=∠AEB=90°，

∴∠AEF=∠BEG，

∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，

∴△AEF≌△BEG，

∴EF=EG，AF=BG，

∴四边形EFPG是正方形，

∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，

∵EF≤AE，

∴EF的最大值=AE=2，

∴△APB周长的最大值=4+4．

（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．

∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，

∴∠APB=120°，

∵∠AKB=60°，

∴∠AKB+∠APB=180°，

∴A、K、B、P四点共圆，

∴∠BPH=∠KAB=60°，

∵PH=PB，

∴△PBH是等边三角形，

∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，

∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，

∴△KBH≌△ABP，

∴HK=AP，

∴PA+PB=KH+PH=PK，

∴PK的值最大时，△APB的周长最大，

∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，

∴△PAB的周长最大值=2+4．