Question

如图，等边△ABC中，BM是ABC内部的一条射线，且，点A关于BM的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD、CD的延长线分别交射线BM于点E，P．

(1)依题意补全图形；

(2)若ABM ，求BDC 的大小（用含的式子表示）；

(3)用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

Answer

(1)见解析;(2) 60°+;(3)见解析.

【解析】

（1）正确画图；

（2）根据对称得：BM是AD的垂直平分线，则BA=BD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；

（3）在射线PD上截取PF使PF=PB，连接BF，如图，先证明△BPF是等边三角形，再证明△BFC≌△BPD，则CF=PD=2PE．根据线段的和可得结论．

（1）如图所示：

（2∵点A与点D关于BM对称，∴BM是AD的垂直平分线，∴BA=BD．

∵∠ABM=α，∴∠ABD=2∠ABM=2α．

∵等边△ABC，∴BA=CB=BD，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD =60°－，∴∠BDC=∠DCB=（180°∠DBC）=60°+．

（3）结论：PB=PC+2PE．证明如下：

在射线PD上截取PF使PF=PB，连接BF．

∵BA=BD，∠ABD=，∴∠BDA=∠BAD=90° ．

∵∠BDC=60°+，∴∠PDE=180－（∠BDA+∠BDC）=30°．

∵∠DEP=90°，∴PD=2PE．

∵∠BPF=∠DPE=90°∠PDE=60°，PF=PB，∴△BPF是等边三角形，∴∠BPF=∠BFP=60°．

∵∠BDC=∠DCB，∴∠BDP=∠BCF．

在△BFC和△BPD中，∵ ，∴△BFC≌△BPD，∴CF=PD=2PE，∴PB= PC+BF=PC+2PE．