Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）

①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；

②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．

（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题．

①点B与⊙O的位置关系是＿；（直接写出答案）

②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．

Answer

（1）画图见解析；（2）（2）①点B在⊙O上；②⊙O的半径为5．

【解析】试题（1）分别以A、C为圆心，以大于线段AC一半的长度在线段AC上下两侧画弧。连接交点级为线段AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D。

（2）比较OB和OA的长，如果OA=OB则点B 在圆上，利用垂直平分线的性质，及角与角之间的等量代换，可证明OA=OB。利用勾股定理，放在∆AOD中求半径。

试题解析：【解析】
（1）如图所示；

（2）①连结OC，如图，

∵OD垂直平分AC，

∴OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，

∴∠B=∠OCB，

∴OC=OB，

∴OB=OA，

∴点B在⊙O上；

故答案为点B在⊙O上

②∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，

∴AD=AC=4，

设⊙O的半径为r，

则OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，

在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，

即r2=42+（r﹣2）2，

解得r=5．

∴⊙O的半径为5．