Question

如图，在△ABC中，∠BAC=50°．

（1）若点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则∠BIC=    °．

（2）若点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，则∠BDC=      °．

（3）若点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．

（4）在（3）的条件下，若CE∥AB，求∠ACB的度数．

Answer

（1）115°；（2）65°；（3）∠BEC =∠BAC，理由见解析；（4）80°.

【解析】

（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行计算；

（2）根据三角形的内角和定理、角平分线的定义以及外角的性质进行计算即可；

（3）根据三角形的内角和定理、角平分线的定义以及外角的性质进行计算即可得出结论；

（4）根据平行线的性质以及邻补角的定义进行计算即可．

（1）∵△ABC中，∠BAC=50°，

∴∠ABC+∠ACB=130°，

∵点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，

∴∠IBC+∠ICB=65°，

∴△IBC中，∠BIC=180°-65°=115°；

（2）∵△ABC中，∠BAC=50°，

∴∠ABC+∠ACB=130°，

∴∠ABC，∠ACB的外角之和=360°-130°=230°，

∵点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，

∴∠DBC+∠DCB=115°，

∴△DBC中，∠BDC=180°-115°=65°；

（3）∠BEC=∠BAC．

∵∠DCE是△BCE的外角，

∴∠E=∠DCE-∠CBE，

∵点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，

∴∠DCE=∠ACD，∠CBE=∠ABC，

∴∠E=∠ACD-∠ABC=（∠ACD-∠ABC）=∠A，

即∠BEC=∠BAC；

（4）∵CE∥AB，

∴∠A=∠ACE=50°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACD=100°，

∴∠ACB=180°-100=80°．