Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：

（1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA,OB交于点C，D．

①比较大小：PC______PD． (选择“>”或“<”或“=”填空）；

②证明①中的结论．

（2）将三角板的直角顶点P在射线ＯＭ上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求的长）.

Answer

（1）①PC=PD;②证明见解析；（2）OP=1或OP=．

【解析】

试题（1）①PC=PD;②过P作PH⊥OA，PN⊥OB，再证△PCH≌△PDN，即可；

（2）分两种情况进行讨论：①若PD与边OB相交；②PD与边OB的反向延长线相交．

试题解析：（1）①PC=PD;

②过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°，

∴∠HPC+∠CPN=90°

∵∠CPN+∠NPD=90°,

∴∠HPC=∠NPD,

∵OM是∠AOB的平分线,

∴PH=PN.

又∵∠PHC=∠PND=90°

∴△PCH≌△PDN，

∴PC=PD;

(2)①若PD与边OB相交

∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE＝∠DOC=90°

∴由△PCE与△OCD相似可得∠PEC=∠DCO

∴DE=CD，而DO⊥OC，

∴OE="OC=1"

∴OP为Rt△CPE斜边上的中线

∴OP=EC="OC=1" ;

②若PD与边OB的反向延长线相交， 过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N， 则PH=PN

∵△PCE与△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE＝∠DOC=90°

∴∠PCE=∠OCD

又∵∠PCO＋∠PEC=90°,∠PDO +∠OED =90°,

且∠PEC＝∠OED，∴∠PDO=∠PCO.

而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S）.

∴HC=ND，PC=PD， ∴∠PCD= ∠PDC =45°，

∴∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5°

又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,

∴∠ODP=∠OPD=22.5°

∴OP=OD,

设OP=x，则HC=OC－OH=，

而DN=DO＋ON=OP+ON=， ∴，

∴，即OP=，

综上所述，满足条件的OP=1或OP=．